拙ブログを訪れて頂きまして、有難うございます。月に1~2回程の更新を心掛けます。
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( お暇なときに、ケチでもお付けになりながら気分転換程度にお読み頂くのが宜しいかと・・・)
前回の解答解説
その前に・・・
今更、と思われるかもしれないが、部分積分の公式を導出してみようと思う。部分積分の公式は、関数の積の微分公式から次の様に導出できる。\(x\ を独立変数とする 2 つの関数\ u,\ v\ の積を\ x\ で微分すると、\)
\[\frac{d}{dx}\ ( u \cdot v ) = \frac{du}{dx}\ v + u\ \frac{dv}{dx}\]
次に、上式の両辺を \(x\) で積分する。
\[\int \frac{d}{dx}\ ( u \cdot v )\ dx = \int \frac{du}{dx}\ v\ dx + \int u\ \frac{dv}{dx}\ dx\]
ここで、右辺の 1 項目か、若しくは 2 項目を左辺に移項する。ここでは 2 項目を移項する事にする ( その後、見かけを整えるために左辺と右辺を入れ換える )。
\[ \int \frac{du}{dx}\ v\ dx = \int \frac{d}{dx}\ ( u \cdot v )\ dx - \int u\ \frac{dv}{dx}\ dx \]
右辺 1 項目の積分を進めることが出来る。その際、不定積分であるので、その積分定数を \(C\) とすると、
\[\int \frac{du}{dx}\ v\ dx = u \cdot v + C - \int u\ \frac{dv}{dx}\ dx \tag{1}\]
部分積分の公式 (1) 式を導出する事が出来た。先ずは前回の問題に対して (1) 式を適用して解いてみると、
\begin{align} &\int \cos{x} \sin{x} dx = \sin^2{x} + C - \int \sin{x}\cos{x} dx\\ &2\int \cos{x} \sin{x} dx = \sin^2{x} + C\\ &\int \cos{x} \sin{x} dx = \frac{1}{2}\sin^2{x} + \frac{1}{2}C\\ &\mathrm{ここで、\frac{1}{2}C を新たな積分定数 C とする事にして、}\\ &\int \cos{x} \sin{x} dx = \frac{1}{2}\sin^2{x} + C \tag{2} \end{align}
私がこれまで見てきた微積分の教科書や参考書が掲載している部分積分の公式は、(1) 式の右辺 2 項目の \( C \) を、左辺や右辺3項目の積分結果の積分定数と合算するという事で表記を省略し、
\[\int \frac{du}{dx}\ v\ dx = u \cdot v - \int u\ \frac{dv}{dx}\ dx \tag{3}\]
と、していると思う。この部分積分の公式 (3) 式で上の積分の問題を解いてみると、
\begin{align} &\int \cos{x} \sin{x} dx = \sin^2{x} - \int \sin{x}\cos{x} dx\\ &2\int \cos{x} \sin{x} dx = \sin^2{x}\\ &\int \cos{x} \sin{x} dx = \frac{1}{2}\sin^2{x} \tag{4} \end{align}
となる。この結果は、「 その積分定数は 0 である 」と言っている。しかし「 0 と限定するのは原始関数の表記としておかしいし、第一、計算結果が (2) と (4) で違うじゃないか 」等と、悩んでしまい ( ? ) 夜も眠れず、食事も喉を通らず、青信号と赤信号を間違える ( ? ) 等したら大変だ。
それなら、計算結果 (4) に \(+\ C\) として、
\[\frac{1}{2}\sin^2{x}+C\]
としてしまえば良い。それで良いと思う。どうせ定数項は微分すると消えてしまうのだから、それで積分結果としての原始関数の表記として通用すると思うし、計算結果 (2) 式と一致してスッキリする。
問題
もしもシリーズ？
若しもこんな問題が、しかも入試で、出題されたらどうするか？
というわけで、
以下の式を因数分解せよ
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc\]
相変わらず余計な解説をするな！下らん冗談を言うな！と言われながらも書いております。ケチでもお付けになりながらお読み頂くのが宜しいかと。
次回も宜しくお願い致します。
問題その2
休憩しましょう。
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