Vol.16 数学的帰納法の練習その２ - 高校数学１ミリメートル

ただでさえ苦手な証明問題。ましてや数学的帰納法なんて、と思われている方へ、私が贈る迷講義？？

　拙ブログを訪れて頂きまして、有難うございます。月に1~2回程の更新を心掛けます。

( お暇なときに、ケチでもお付けになりながら気分転換程度にお読み頂くのが宜しいかと・・・)

前回の解答解説

以下、\(n\) は自然数 ( 1以上の整数 ) とする。

初項 \(a \) 公比 \(r (\gt 0)\) の等比数列 \(a_{n}=ar^{n-1}\) の、初項 \(a(=a_1)\) から第 \(n\) 項迄の和 \(S_{n}\) は次の通りである。

\begin{align} r = 1 のとき、S_{n} &= na \\ \\ r \neq 1 のとき、S_{n} &= \frac{a(1-r^{n})}{1-r} \end{align}

(1) \(r=1\) のとき、

\( n=1 のとき、S_{1} = a \) となり、成立する。

ここで、\( n = k \) のとき\( S_{k} = ka \) の成立を仮定すると、\( n = k+1 \) のとき、\(a_{k+1}=a\) であるから、

\begin{align} S_{k+1}=& S_{k} + a_{k+1}\\ =& ka + a\\ =& (k+1)a \end{align}

となり、\(n=k+1\) のときに成立する。
よって、全ての自然数 \(n\) で、\(S_{n}=na\) が成立する。

(2) \(r \neq 0\) のとき、

\( n=1 のとき、S_{1} = a \) となり、成立する。

ここで、\( n = k \) のとき\(\displaystyle{ S_{k} = \frac{a(1-r^{k})}{1-r} } \) の成立を仮定すると、\( n = k+1 \) のとき、\(a_{k+1}=ar^{(k+1)-1}\) であるから、

\begin{align} S_{k+1}=& S_{k} + a_{k+1}\\ \\ =& \frac{a(1-r^{k})}{1-r} + ar^{(k+1)-1}\\ \\ =& \frac{a(1-r^{k+1})}{1-r} \end{align}

となり、\(n=k+1\) のときに成立する。
よって、全ての自然数 \(n\) で、\(\displaystyle{S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}}\) が成立する。

　(1), (2) の結果により、全ての自然数 \(n\) で、初項から第 \(n\) 項迄の等比数列の和の公式が成り立つことが証明出来た。

( 証明終わり )

　数学的帰納法の入門についてはこの辺りにして、次の話題に入ろうと思う。次に示す問題は、極ありきたりのものとお感じになるかもしれないが、取り敢えずは解いてみて頂きたく思う。

　次の不定積分を求めよ。

\[\int{cos{x}\ sin{x}\ dx}\]

( これは有名な、よく知られた積分で、高校数学Ⅲ の教科書が掲載していると思います。次回は、この積分に私なりの解説を致してみたく思います )

　余計な解説をするな！ 等と仰らず、ケチでもお付けになりながらお読み頂くのが宜しいかと。

　次回も宜しくお願い致します。

休憩しましょう。

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