Vol.13 ( 多分 ) 簡単な漸化式その１ - 高校数学１ミリメートル

　漸化式？そんなの有ったか？と思われている方へ、私が贈る迷講義？？

　拙ブログを訪れて頂きまして、有難うございます。月に1~2回程の更新を心掛けます。

前回の解答解説

以下、\(n\) は自然数 ( 1以上の整数 ) とする。

1-1

\( a_1=5,\ a_{n+1}=\ a_n+30\) について、\(a_n\) は 30 を足すと次の項である\(a_{n+1}\) となるから、公差が30である等差数列である。\(a_1=5\) より初項は 5 である。よって \(a_n\) は、 \begin{align} a_n &=5+30(n-1)\\ &=30n-25 \end{align} \[\therefore\ a_n=30n-25\] \(a_n\) が分かった。\(a_n\) が分かったと云うことが「漸化式が解けた」と云う事である。

1-2

\( a_1=5,\ a_{n+1}=30a_n \) について、上の例を参考にすると、\(a_n\) は初項 5 、公比 30 の等比数列と見なすことが出来る。 \[\therefore\ a_n =5 \cdot 30^{n-1}\]

　さて、等差数列や等比数列の漸化式の一般項を求めた分けだが、では、以下のような漸化式についてはどうだろうか？

問題

次の漸化式の一般項 "\(a_n\)" を求めよ。但し、n は自然数とする。

\[a_{n+1}=3a_n+5,\ a_1=10\]

( 解答解説は次回に掲載予定です )

　天才は別として、漸化式は、その複雑さを増してくると、入学試験等の数学では、定石を ( 理解して ) 記憶しているかどうかの勝負になることも多いように思います。

　定石を理解するために思考力を使い、それを記憶に留めるために思考力を使い、記憶した定石を如何に使うかに思考力を使うことになり、その意味でも、数学 ( の試験 ) は記憶力と思考力の双方を試しているものと思います ( よく、数学は思考力の学問と言われるようですが )。

　「理解するために思考し、それを記憶に留めるために思考し、記憶したものを元に思考して問題解決をする」そして、「考え方や知識等、予め記憶していることが多ければ、それらを元に、より思考の幅が広がる」のであれば、数学は他の学問と同じ部分が多く、数学と、それ以外の学問は、大きく変わらないかもしれないと思うのです。

　( 数学、恐るるに足らず？ )

　次回も宜しくお願い致します。

問題その2

休憩しましょう。

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