Vol.30 ３次方程式の解と係数の関係 - 高校数学１ミリメートル

　今回は、３次方程式の解と係数の関係について（とても余計な？）解説を致しております。

　私の第二ブログ、
　「心穏やかな日々のために」 https://odayakakokoro.hatenablog.jp/

は、更新を中止しておりますが、公開は継続中です。こちらも宜しくお願い致します。

　拙ブログを訪れて頂きまして、有難うございます。月に1~2回程の更新を心掛けます。

( お暇なときに、ケチでもお付けになりながら気分転換程度にお読み頂くのが宜しいかと・・・)

３次方程式の解と係数の関係の導出

　３次方程式 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) は複素数の範囲で３つの解をもつ。その３つの解をそれぞれ \( \alpha,\ \beta,\ \gamma \) とし、 \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \tag{1} \] とおくと、因数定理より、\( f(\alpha) = 0,\ f(\beta) = 0,\ f(\gamma) = 0 \) なので、\( f(x) \) は \( ( x - \alpha ),\ ( x - \beta ),\ ( x - \beta ) \) を因数に持つ。

　そこで、\( f(x) \) を \( ( x - \alpha )( x - \beta )( x - \gamma ) \) で割った商を \( Q \) として、 \[ f(x) = ( x - \alpha ) ( x - \beta )( x - \gamma ) Q \tag{2} \] と書ける。

　（１）、（２）式より、 \[ ax^3 + bx^2 + cx + d = ( x - \alpha ) ( x - \beta )( x - \gamma ) Q \tag{3} \] 　（3）式で、左辺は \( x \) の３次式であり、左辺の\( ( x - \alpha ) ( x - \beta )( x - \gamma ) \) を展開すると、これも \( x \) の３次式である事により、\( Q \) は定数のようだ。

　ここで、左辺 \( x^3 \) の項の係数が \( a \) なので、右辺を展開し整理した後の \( x^3 \) の係数も \( a \) であるためには、定数 \( Q \) は \( a ( \ne 0 ) \) であるに違いない。

　よって、（3）式は、 \[ ax^3 + bx^2 + cx + d = a( x - \alpha ) ( x - \beta ) ( x - \gamma ) \tag{4} \] 更に、両辺を \( a ( \ne 0 ) \) で割って、 \[ x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = ( x - \alpha ) ( x - \beta ) ( x - \gamma ) \tag{5} \] と書ける。なんで因数定理を用いて（5）式の様に「左辺＝右辺」と書いたかと言うと、右辺は当該３次方程式 \( f(x) = 0 \) の解 \( \alpha,\ \beta,\ \gamma \) と \( x \) の式なので、右辺を展開した後に両辺の係数と定数項を比較することにより（ \( x^3 \) の係数は互いに１である）、解と係数の関係の式が求まるという分けである。

　なので、（5）式の右辺を展開し、 \[ x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a}= x^3 -( \alpha + \beta + \gamma )x^2 + ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha )x - \alpha \beta \gamma \tag{6} \]

　（6）式の係数と定数項を比較して、 \[ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}, \ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}, \ \alpha \beta \gamma = - \frac{d}{a} \tag{7} \] この（７）が、\( \alpha,\ \beta,\ \gamma \) を３つの解とする３次方程式 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) の解と係数の関係という分けである。

　殆ど先月公開の Vol.29 の解説を型にして書いたのみで「こりゃ、手抜きだ！」とお感じになると思います。もっともな事です。

　が、しかし、私には良いことがありました。

　Vol.29 を再読して検討することにもなり、その推敲や校正に役立ったのです（それにより、Vol.29 は推敲、校正済みです）。推敲や校正にはこんなやりかたもあるのかと思いました。読み手の方には恐縮ですが。

　（推敲や校正の不足については、本当に御迷惑をおかけしております）。

　つまらないもの（出題）ですが・・・

今月の問題

　すべての自然数 \( n \) において、以下の式が７の倍数となることを証明せよ。　 \[ 2^{ n+1 } + 3^{ 2n-1 } \]

　次回の更新は8月中を予定しております。次回も宜しくお願い致します。

問題その2

　休憩しましょう。

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