高校数学１ミリメートル

大方は教科書に書いてあることを、1mmだけ私流に述べているつもりの、1mm だけ役に立つかもしれない高校数学ブログ。クイズや練習問題有り ( 誤植も有り? )

Vol.31 数学的帰納法の練習 その３

数学的帰納法

　今回は、数学的帰納法の例題について（とても余計な？）解説を致しております。
　大事なお知らせもあります。是非、ご覧ください。

　私の第二ブログ、
　「 心穏やかな日々のために 」 https://odayakakokoro.hatenablog.jp/

は、更新を中止しておりますが、公開は継続中です。こちらも宜しくお願い致します。

大事なお知らせです　

　拙ブログを訪れて頂きまして有難うございます。拙ブログは今回で更新を停止致します。今後 「高校数学１ミリメートル」は"note" にマガジンとして書き続けていく予定です。

　暫くは、はてなブログに掲載の「高校数学１ミリメートル」を推敲や編集をして転載していく予定です。

　「心穏やかな日々のために」も、推敲や編集をし直した後、"note"に記事やマガジン等として 掲載の予定です。改題もあるかもしれません。

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　このブログ「高校数学１ミリメートル」は、暫く公開を継続の予定です。

　引き続き私のブログやノート（note）を宜しくお願い致します。

　御閲覧頂くに当たりましては、このリンク先ページの御一読をお願い致します

( お暇なときに、ケチでもお付けになりながら気分転換程度にお読み頂くのが宜しいかと・・・)

数学的帰納法の練習、その３

　すべての自然数 \( n \) において、以下の式が７の倍数となることを証明せよ。　 \[ 2^{ n+1 } + 3^{ 2n-1 } \]

という出題があったとする。

　当たり前だが「すべての自然数について、、、証明せよ」とあっても「 全ての自然数を上の式に代入することによって証明する」のは不可能と思う。

　数学的帰納法を使えば「全ての自然数を代入」せずとも、証明することは 可能かもしれない。

　というか「すべての自然数について成立することを証明する手立てが 数学的帰納法であるから、それをやってみよう」と思ってもらえると、私は嬉しい。

　また前置きが長くなってしまった。以下に、その数学的帰納法を使って、
「 \( n \) を自然数とすると、\( 2^{ n+1 } + 3^{ 2n-1 } \) が７の倍数となる」
ことの証明をしてみようと思う。


証明（解説付き）

\( (A) \ \ n=1 \) のとき、
　\[ 2^{ 1+1 } + 3^{ 2\times1-1 } = 7 \] 　で、成立。

\( n=k \) のとき、\( M \) を自然数とし、 　\[ 2^{ k+1 } + 3^{ 2k-1 } = 7M \tag{1} \] の成立を仮定すると、

\( (B) \ \ n=k+1 \) のとき、 \begin{align*} &\ 2^{ ( k + 1 ) + 1 } + 3^{ 2( k + 1 ) - 1 } \\ =&\ 2^{ k + 2 } + 3^{ 2k + 1 } \tag{2} \end{align*} 　ここで、\( (2) \) 式も 7 の倍数である事を示したいので、\( (1) \) 式が 7 の倍数であるという仮定を \( (2) \) 式で生かせないかと考える。

　すると、\( (2) \) 式の一部に \( (1) \) 式を見出し、浮かび上がらせるような恰好を作れそうだと 思い付き、次の様に式の整理を進めてみることになるだろう。\( N \) を自然数として、 \begin{align*} \left( 2 \right) 式 &= \ 2 \cdot 2^{ k + 1 } + 3^2 \cdot 3^{ 2k -1 } \\ &= \ 2 \cdot 2^{ k + 1 } + 9 \cdot 3^{ 2k -1 } \\ &= \ 2 \cdot 2^{ k + 1 } + 2 \cdot 3^{ 2k -1 } + 7 \cdot 3^{ 2k -1 }\\ &= \ 2 \ ( \ 2^{ k + 1 } + 3^{ 2k -1 } \ ) + 7 \cdot 3^{ 2k -1 } \\ &= \ 2 \cdot 7M + 7 \cdot 3^{ 2k -1 } \\ &= \ 7 \ ( \ 2M + 3^{ 2k -1 } \ ) \\ &= \ 7N \end{align*}

　よって、\( n = k + 1 \) のときも成立する。

　ゆえに \( (A) \) と \( (B) \) より、すべての自然数 \( n \) で \( 2^{ n+1 } + 3^{ 2n-1 } \) は \( 7 \) の倍数である。

（ 証明終わり ）

問題その2

　休憩しましょう。

　"note" でお目に掛かりたく思います。引き続き宜しくお願い致します。

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Vol.30 ３次方程式の解と係数の関係

公式の導出 方程式

　今回は、３次方程式の解と係数の関係について（とても余計な？）解説を致しております。

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３次方程式の解と係数の関係の導出

　３次方程式 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) は複素数の範囲で３つの解をもつ。その３つの解 をそれぞれ \( \alpha,\ \beta,\ \gamma \) とし、 \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \tag{1} \] とおくと、因数定理より、\( f(\alpha) = 0,\ f(\beta) = 0,\ f(\gamma) = 0 \) なので、\( f(x) \) は \( ( x - \alpha ),\ ( x - \beta ),\ ( x - \beta ) \) を因数に持つ。

　そこで、\( f(x) \) を \( ( x - \alpha )( x - \beta )( x - \gamma ) \) で割った商を \( Q \) として、 \[ f(x) = ( x - \alpha ) ( x - \beta )( x - \gamma ) Q \tag{2} \] と書ける。

　（１）、（２）式より、 \[ ax^3 + bx^2 + cx + d = ( x - \alpha ) ( x - \beta )( x - \gamma ) Q \tag{3} \] 　（3）式で、左辺は \( x \) の３次式であり、左辺の\( ( x - \alpha ) ( x - \beta )( x - \gamma ) \) を展開すると、これも \( x \) の３次式である事により、\( Q \) は定数のようだ。

　ここで、左辺 \( x^3 \) の項の係数が \( a \) なので、右辺を展開し整理した後の \( x^3 \) の 係数も \( a \) であるためには、定数 \( Q \) は \( a ( \ne 0 ) \) であるに違いない。

　よって、（3）式は、 \[ ax^3 + bx^2 + cx + d = a( x - \alpha ) ( x - \beta ) ( x - \gamma ) \tag{4} \] 更に、両辺を \( a ( \ne 0 ) \) で割って、 \[ x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = ( x - \alpha ) ( x - \beta ) ( x - \gamma ) \tag{5} \] と書ける。なんで因数定理を用いて（5）式の様に「左辺＝右辺」と書いたかと言うと、 右辺は当該３次方程式 \( f(x) = 0 \) の解 \( \alpha,\ \beta,\ \gamma \) と \( x \) の式なので、右辺を展開 した後に両辺の係数と定数項を比較することにより（ \( x^3 \) の係数は互いに１である）、 解と係数の関係の式が求まるという分けである。

　なので、（5）式の右辺を展開し、 \[ x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a}= x^3 -( \alpha + \beta + \gamma )x^2 + ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha )x - \alpha \beta \gamma \tag{6} \]

　（6）式の係数と定数項を比較して、 \[ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}, \ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}, \ \alpha \beta \gamma = - \frac{d}{a} \tag{7} \] この（７）が、\( \alpha,\ \beta,\ \gamma \) を３つの解とする３次方程式 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) の解と係数の関係という分けである。

　殆ど先月公開の Vol.29 の解説を型にして書いたのみで「こりゃ、手抜きだ！」と お感じになると思います。もっともな事です。

　が、しかし、私には良いことがありました。

　Vol.29 を再読して検討することにもなり、その推敲や校正に役立ったのです （それにより、Vol.29 は推敲、校正済みです）。推敲や校正にはこんなやりかたもあるのか と思いました。読み手の方には恐縮ですが。

　（推敲や校正の不足については、本当に御迷惑をおかけしております）。

　つまらないもの（出題）ですが・・・

今月の問題

　すべての自然数 \( n \) において、以下の式が７の倍数となることを証明せよ。　 \[ 2^{ n+1 } + 3^{ 2n-1 } \]

　次回の更新は8月中を予定しております。次回も宜しくお願い致します。

問題その2

　休憩しましょう。

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　大事に使えば長持ちし、庶民にとっての「生涯の友」となるかもしれません。

　国産万年筆は、特に国内で流通するものは、日本語を書く事を念頭に置いて設計製造されている事と思います。 メーカーは、そのノウハウの蓄積もある事と思います。その意味でも、是非、国産万年筆をどうぞ。

　（ 私の場合特に、画数の多い漢字や、数式記法にある添え字等の小さな文字を書くときに備えて細字のペン先を選びました ）

　私の万年筆を使う楽しみの一つは、コンバーターを使ってのインク吸引作業なのです。これがあるから万年筆を使って いると言っても良いかもしれない位なのです。パイロット万年筆のコンバーターではスクリュー吸引式の CON-40 が、吸引 できる容量は少な目なのですが、回転式吸引の操作がとてもやりやすくて、今のところ私のお気に入りです。既にご愛用の 方も、スペアにどうぞ。

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お知らせ

　拙ブログ 「更新は月曜の夕方」「 自然観察１ミリメートル 」は、2022年10月20日公開の新ブログ、

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　更新は停止中であります。

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Vol.29 ２次方程式の解と係数の関係

2次方程式 方程式

　今回は、２次方程式の解と係数の関係について（かなり余計な？）解説を致しております。

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２次方程式の解と係数の関係の導出

まずは、2次方程式の解の公式より・・・

\[ ax^2 + bx + c = 0 \tag{1} \] 　上に示す \( x \) についての２次方程式（１）式の解の公式は次に示す（２）式である。 \[ x = \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2-4ac } }{ 2a } \tag{2} \] 　ちなみに老婆心ながら（１）式は２次方程式だと言っているので \( a \ne 0 \) である。 そうでなければ \( x \) の２次の項が無くなるからである。また、解の公式の分母を見ると、 「確かに \( a \ne 0 \) だな」と分かる。

　更に前置きを続けると、そもそも２次方程式の解の公式は、２次方程式の解を、その２次方程式の係数によって表現している。 なので、２次方程式の解の公式を示すだけで「これが２次方程式の、解と係数の関係だ」と言われれば

「そう言う解釈も有るかもしれません」

と、私は言ってしまうかもしれない。

　しかし数学の世界では「２次方程式の解と係数の関係」とは、2次方程式 \( ax^2 + bx + c = 0 \) の２つの解（2次方程式は複素数の範囲で２つの解をもつ）をそれぞれ \( \alpha,\ \beta \) とすると、 \[ \alpha + \beta = - \frac{b}{a} ,\ \ \alpha \beta= \frac{c}{a} \tag{3} \] ここに示す（3）式の事を言う。なので、前置きが長くなってしまったが、以下で（３）式を導き出そうと思う。

　２次方程式 \( ax^2 + bx + c = 0 \) がもつ２つの解を \( \alpha,\ \beta \) とし、 \[ f(x) = ax^2 + bx + c \tag{1} \] とおくと、因数定理より、\( f(\alpha) = 0,\ f(\beta) = 0 \) なので、\( f(x) \) は \( ( x - \alpha ),\ ( x - \beta ) \) を因数に持つ。

　そこで、\( f(x) \) を \( ( x - \alpha )( x - \beta ) \) で割った商を \( Q \) として、 \[ f(x) = ( x - \alpha ) ( x - \beta ) Q \tag{2} \] と書ける。

　（１）、（２）式より、 \[ ax^2 + bx + c = ( x - \alpha ) ( x - \beta ) Q \tag{3} \] 　（3）式で、左辺は \( x \) の２次式であり、左辺の\( ( x - \alpha ) ( x - \beta ) \) を展開すると、これも \( x \) の２次式である事により、\( Q \) は定数のようだ。

　ここで、左辺 \( x^2 \) の項の係数が \( a \) なので、右辺 \( x^2 \) の係数も \( a \) であるために、定数 \( Q \) は \( a \) であるに違いない。

　よって、（3）式は、 \[ ax^2 + bx + c = a( x - \alpha ) ( x - \beta ) \tag{4} \] 更に、両辺を \( a ( \ne 0 ) \) で割って、 \[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = ( x - \alpha ) ( x - \beta ) \tag{5} \] と書ける。なんで因数定理を用いて（5）式の様に「左辺＝右辺」と書いたかと言うと、 右辺は当該２次方程式 \( f(x) = 0 \) の解 \( \alpha,\ \beta \) と \( x \) の式なので、右辺を展開 した後に両辺の\( x \) の係数と定数項を比較することにより（ \( x^2 \) の係数は互いに１である）、 解と係数の関係の式が求まるという分けである。

　なので、（5）式の右辺を展開し、 \[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = x^2 -( \alpha + \beta )x + \alpha \beta \tag{6} \]

　（6）式の両辺の係数と定数項を比較して、 \[ \alpha + \beta = -\frac{b}{a},\ \ \alpha \beta = \frac{c}{a} \tag{7} \] この（７）が、\( \alpha,\ \beta \) を２解とする２次方程式 \( ax^2 + bx + c = 0 \) の解と係数の関係という分けである。

　この「解と係数の関係」は因数定理を用いなくても導出できる。（２）式で示す ２つの解を、 \[ \alpha = \frac{ -b + \sqrt{ b^2-4ac } }{ 2a } ,\ \ \beta = \frac{ -b - \sqrt{ b^2-4ac } }{ 2a } \] 等とし、直接に加算乗算しても良く、それにより（7）が得られる（これを２通り目の方法と 致したく思う）。当たり前のようにお感じになるかもしれないが、その当たり前の事を、 計算練習も兼ねて行い「確かにそうなる」ことを確かめるのも良いかもしれない。

　ところで冒頭、２次方程式の解の公式を示すだけで「これが２次方程式の、解と係数の関係だ」 等と書いたが、それは勉強不足の生徒が窮地を切り抜ける為の苦し紛れの答え方かもしれず、実は 私がそう言っていたかもしれないが、もう忘れてしまった・・・

　つまらないもの（出題）ですが・・・

今月の問題

　３次方程式の解と係数の関係を、上述と同様に因数定理を利用して導出せよ。

　 　出題にもならない様な問題かもしれませんが、この機会に何も見ずに 計算練習と思ってやってみて下さい。記憶していたとしても、公式集や 教科書で見て知っていたとしても、たとえ簡単なものであっても、 自ら計算したものが、それらと一致すると、ささやかながら達成感や 安心感をお感じになるかと思います（一致しないと多少は不安になるかもしれません）。

　これ迄通りにごちゃごちゃ述べながらの本当につまらないものになる かもしれませんが、ほんのささやかな私の解答解説を次回に掲載予定ですので、 お付き合い頂けましたら幸いに思います。

　次回の更新は7月中を予定しております。次回も宜しくお願い致します。

問題その2

　休憩しましょう。

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　ペン先は 14 金です。万年筆のペン先に金を使うのは、常にインクにさらされるペン先の、腐食に対する耐久性が良いからだ そうです（ 実際、金が化学変化を起こしにくいのは、よく知られた話です ）。

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Vol.28 部分積分１ミリメートル、その２

微分・積分 公式の導出 何時も何と無く使っているのだけれど

　今回は、Vol.17 で解説致しました部分積分の公式について（更にとても余計な？）解説を致しております。

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Vol.17 で解説の、部分積分の公式について

　Vol.17 に掲載の部分積分の公式の導出は以下の様だった。

　まず、\(x\) を独立変数とする 2 つの関数 \(u,\ v\) の積を、関数の積の微分公式を用いて \( x\) で微分すると、 \[\frac{d}{dx}\ ( u \cdot v ) = \frac{du}{dx}\ v + u\ \frac{dv}{dx}\] 　次に、上式の両辺を \(x\) で積分すると、 \[ \int \frac{d}{dx}\ ( u \cdot v )\ dx = \int \frac{du}{dx}\ v\ dx + \int u\ \frac{dv}{dx}\ dx \tag{1} \] 　この（１）式の左辺の積分は、 \[ \int \frac{d}{dx}\ ( u \cdot v )\ dx = u \cdot v + C \tag{2} \] 　よって(１)、(２)式より、 \[ \int \frac{du}{dx}\ v\ dx = u \cdot v + C - \int u\ \frac{dv}{dx}\ dx \ \tag{3} \] 　部分積分の公式は、こうであっても良いかもしれないと言うのが私の主張である。 　ここで、（２）式左辺の \( u \cdot v \) について、微分する前なのだから、これを微分した その不定積分は、もとの関数である \( u \cdot v \) となり(２)、(３)が示している積分定数 \(C\)は不要なのでは、と思われるかもしれない。

　高校数学の教科書では（3）式に示す積分定数の記載は無い。 　ある関数の導関数の不定積分は、元の関数と全く同じものになるのか？ならない。 簡単な例を挙げてみる。\( \alpha \) を定数とし \( f(x) = \sin{x} + \alpha \) という関数があったすると、 \begin{align} \int \frac{d}{dx}( \sin{x} + \alpha ) \ dx &= \int \cos{x} dx \\ &= \sin{x} + C_1 \\ &= \sin{x} + \alpha + C \tag{4} \end{align} 　\( C,\ C_1 \) は積分定数であり、\( \alpha \) とは全く性格の異なる定数である。 一般に、元の関数と積分定数 \( C \) の違いが生じている。という分けで、一般に、 任意の関数の導関数の不定積分は元の関数とはならず、積分定数分異なり、 これが部分積分の公式として（３）式を主張する理由である。

　さて、Vol.17で検討した \( \displaystyle{ \int \cos{x}\sin{x}\ dx }\) について考えてみる。 そこで述べたように、教科書の公式通りに解くと次のようになる。 \begin{align} \int \cos{x}\sin{x}\ dx = \sin^2{x} - \int \sin{x}\cos{x}\ dx \tag{5} \\ 2\int \cos{x}\sin{x}\ dx = \sin^2{x} \tag{6} \\ \therefore \ \int \cos{x}\sin{x}\ dx = \frac{1}{2} \sin^2{x} \tag{7} \end{align} 　私が問題（かもしれない）と思ったのは、積分結果を示す（７）式で積分定数が 示されて無い事だった。（７）式は高校数学では不定積分の計算結果として示すのは 適当ではない。

　Vol.17 や 本稿で述べた事に関わらず、やはり不定積分の計算結果には、私の主張する（3） 式によらず、不定積分としての積分定数を明示すべきと思う。原始関数や不定積分というものには 積分定数分の不定性があるからである。 　そしてそこに明示した積分定数は、計算過程で現れる積分定数を合算したものと考えると 良いと思う。

　つまらないもの（出題）ですが・・・

今月の問題

　２次方程式の解と係数の関係を、２通りの方法で導出せよ。

　（解答解説は次回に掲載予定です）

　次回の更新は６月中を予定しております。次回も宜しくお願い致します。

問題その2

　休憩しましょう。

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Vol.27 確率計算の誤答例、その１

確率・統計 誤答例

　今回は、トランプ５２枚の中から１枚を取り出したときに、それがハートである確率 \( \mathrm{P} \) を 求めるために、（ハートマークのカードは１３枚あるので）以下の様に立式した事に対して（とても余計な？） 解説を致しております。 \[ \mathrm{P} = \frac{ {}_{52} \mathrm{C} _{13} }{ {}_{52} \mathrm{C} _{1} } \ \tag{1}\]

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前回の問題の（ 私の ）解答解説

　トランプ５２枚の中から１枚を取り出す際、どの１枚の取り出し方も同様に確からしい という事を前提として、

　トランプ５２枚の中から１枚を取り出したときに、それがハートである確率 \( \mathrm{P} \) を 求めるために、以下の様に立式したとする。 \[ \mathrm{P} = \frac{ {}_{52} \mathrm{C} _{13} }{ {}_{52} \mathrm{C} _{1} } \ \tag{1}\] 　この（１）式をみたとき、 \[ {}_{52} \mathrm{C} _{13} \gt {}_{52} \mathrm{C} _{1} \] 　に気付き、必ず \( 0 \le \mathrm{P} \le 1 \) である事を考えると、（１）式の \(\mathrm{P}\) の値は、そもそも確率のとるべき値の範囲を逸脱しているので誤りである事が分かる。 　トランプ５２枚の中から任意の１枚を取り出す場合の数を \( {}_{52} \mathrm{C} _{1} \) とするのは 良い。任意の１枚のハートのカードを取り出すその場合の数は、 \[ {}_{13} \mathrm{C}_{1} \ \tag{2} \] となる。 　しかし（１）式ではそれを、 \[ {}_{52} \mathrm{C}_{13} \ \tag{3} \] としてしまっている。（２）式と（3）式では何が違うのか？

　（3）式は、トランプカード５２枚の中から任意の１３枚を選ぶ場合の数となっている。 任意なので、すべてのマークのカードを含めた１３枚のカードを選ぶ場合の数となっている。 これでは、ハートマークだけを選ぶ場合の数では無い上に、１３枚を選ぶ場合の数なので、 １枚を選ぶ場合の数ではない。よって、この数え上げ方（場合の数の計算）が間違っている。
　ハートマーク１枚を選ぶ場合の数は、ハートマークは１３枚あるので、１３枚の中から１枚を 選ぶ、 \[ {}_{13} \mathrm{C}_{1} \ \tag{2} \] となる。よって、確率計算としては、 \[ \mathrm{P} = \frac{ {}_{13} \mathrm{C} _{1} }{ {}_{52} \mathrm{C} _{1} } \ \tag{4}\] となる。

　出題の式についてまとめるなら、計算結果が確率の値のとるべき範囲である \( 0 \le \mathrm{P} \le 1 \) を逸脱しているので、そもそも確率を示す式では無く、 何故そのような式になってしまったかと言うと、ハートのカードを選ぶ場合の数 の計算方法に誤りがあり、正しくは、これを \( {}_{13} \mathrm{C} _{1} \) とし、 確率計算のための立式としては、 \[ \mathrm{P} = \frac{ {}_{13} \mathrm{C} _{1} }{ {}_{52} \mathrm{C} _{1} } \] とすると良い、という事になる。

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問題その2

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