今回は、Vol.17 で解説致しました部分積分の公式について（更にとても余計な？）解説を致しております。
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Vol.17 で解説の、部分積分の公式について
Vol.17 に掲載の部分積分の公式の導出は以下の様だった。
まず、\(x\) を独立変数とする 2 つの関数 \(u,\ v\) の積を、関数の積の微分公式を用いて \( x\) で微分すると、
\[\frac{d}{dx}\ ( u \cdot v ) = \frac{du}{dx}\ v + u\ \frac{dv}{dx}\]
次に、上式の両辺を \(x\) で積分すると、
\[ \int \frac{d}{dx}\ ( u \cdot v )\ dx = \int \frac{du}{dx}\ v\ dx + \int u\ \frac{dv}{dx}\ dx \tag{1} \]
この（１）式の左辺の積分は、
\[ \int \frac{d}{dx}\ ( u \cdot v )\ dx = u \cdot v + C \tag{2} \]
よって(１)、(２)式より、
\[ \int \frac{du}{dx}\ v\ dx = u \cdot v + C - \int u\ \frac{dv}{dx}\ dx \ \tag{3} \]
部分積分の公式は、こうであっても良いかもしれないと言うのが私の主張である。
ここで、（２）式左辺の \( u \cdot v \) について、微分する前なのだから、これを微分した
その不定積分は、もとの関数である \( u \cdot v \) となり(２)、(３)が示している積分定数
\(C\)は不要なのでは、と思われるかもしれない。
高校数学の教科書では（3）式に示す積分定数の記載は無い。
ある関数の導関数の不定積分は、元の関数と全く同じものになるのか？ならない。
簡単な例を挙げてみる。\( \alpha \) を定数とし \( f(x) = \sin{x} + \alpha \) という関数があったすると、
\begin{align}
\int \frac{d}{dx}( \sin{x} + \alpha ) \ dx &= \int \cos{x} dx \\
&= \sin{x} + C_1 \\
&= \sin{x} + \alpha + C \tag{4}
\end{align}
\( C,\ C_1 \) は積分定数であり、\( \alpha \) とは全く性格の異なる定数である。
一般に、元の関数と積分定数 \( C \) の違いが生じている。という分けで、一般に、
任意の関数の導関数の不定積分は元の関数とはならず、積分定数分異なり、
これが部分積分の公式として（３）式を主張する理由である。
さて、Vol.17で検討した \( \displaystyle{ \int \cos{x}\sin{x}\ dx }\) について考えてみる。
そこで述べたように、教科書の公式通りに解くと次のようになる。
\begin{align}
\int \cos{x}\sin{x}\ dx = \sin^2{x} - \int \sin{x}\cos{x}\ dx \tag{5} \\
2\int \cos{x}\sin{x}\ dx = \sin^2{x} \tag{6} \\
\therefore \ \int \cos{x}\sin{x}\ dx = \frac{1}{2} \sin^2{x} \tag{7}
\end{align}
私が問題（かもしれない）と思ったのは、積分結果を示す（７）式で積分定数が
示されて無い事だった。（７）式は高校数学では不定積分の計算結果として示すのは
適当ではない。
Vol.17 や 本稿で述べた事に関わらず、やはり不定積分の計算結果には、私の主張する（3）
式によらず、不定積分としての積分定数を明示すべきと思う。原始関数や不定積分というものには
積分定数分の不定性があるからである。
そしてそこに明示した積分定数は、計算過程で現れる積分定数を合算したものと考えると
良いと思う。
つまらないもの（出題）ですが・・・
今月の問題
２次方程式の解と係数の関係を、２通りの方法で導出せよ。
（解答解説は次回に掲載予定です）
次回の更新は６月中を予定しております。次回も宜しくお願い致します。
問題その2
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