高校数学1ミリメートル

大方は教科書に書いてあることを、1mmだけ私流に述べているつもりの、1mm だけ役に立つかもしれない高校数学ブログ。クイズや練習問題有り ( 誤植も有り? )

Vol.24 何時も何と無く使っているのだけれど~~~~ベクトル編~~その1~~

 拙ブログを訪れて頂きまして、有難うございます。月に1~2回程の更新を心掛けます。

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( お暇なときに、ケチでもお付けになりながら気分転換程度にお読み頂くのが宜しいかと・・・)


前回の問題の( 私の )解答解説

\[ \vec{a}=(a_1,\ a_2),\ \vec{b}=(b_1,\ b_2)\ のとき、\ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 \tag{1} \] この(1)の導出について説明するために、ベクトルの内積の定義は、 \( \vec{ \alpha } \cdot \vec{ \beta } = | \vec{ \alpha } | | \vec{ \beta }| \cos{\theta} \ \ ( = \vec{ \beta } \cdot \vec{ \alpha} ) \) ( 但し、\( \theta \) は \( \vec{ \alpha} \) と \( \vec{ \beta } \) のなす角で \( 0 \leqq \theta \leqq \pi \) )とし、次の公式(2)を仮定しようと思う。
\[ \vec{ \alpha} \cdot ( \vec{ \beta } + \vec { \gamma } ) = \vec{ \alpha } \cdot \vec{ \beta } + \vec{ \alpha } \cdot \vec{ \gamma } \tag{2} \] これは、ベクトルの内積に関する分配法則というべきものである(この公式の説明は後述する)。また、(2)式より、次の事が言える。 \begin{align} & ( \vec{ \alpha } + \vec{ \beta } ) \cdot ( \vec { \gamma } + \vec{ \delta } ) \\ = & ( \vec{ \alpha } + \vec{ \beta } ) \cdot \vec { \gamma } + ( \vec{ \alpha} + \vec{ \beta } ) \cdot \vec{ \delta } \\ = & \vec{ \alpha } \cdot \vec { \gamma } + \vec{ \beta} \cdot \vec { \gamma } + \vec{ \alpha} \cdot \vec{ \delta } + \vec{ \beta } \cdot \vec{ \delta } \end{align}  更に、直交座標系での単位ベクトル \( \vec{e_1} = ( 1,\ 0 ),\ \vec{e_2} = ( 0,\ 1 ) \) を導入すると、(1)式の左辺は、

\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= ( a_1\vec{e_1} + a_2\vec{e_2} ) \cdot ( b_1\vec{e_1} + b_2\vec{e_2} )\\ &= a_1b_1( \vec{e_1} \cdot \vec{e_1} ) + a_1b_2 ( \vec{e_1} \cdot \vec{e_2} ) + a_2b_1 ( \vec {e_2} \cdot \vec{e_1} ) + a_2b_2 ( \vec{e_2} \cdot \vec{e_2} )\\ &= a_1b_1 ( \vec{e_1} \cdot \vec{e_1} ) + a_2b_2 ( \vec{e_2} \cdot \vec{e_2} ) \ \ \ ( \because \ \ \vec{e_1} \cdot \vec{e_2} = | \vec{e_1}| | \vec{e_2} | \cos{ \frac{ \pi }{ 2 } } = 0 ) \\ &= a_1b_1 + a_2b_2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \ \ \vec{e_i} \cdot \vec{e_i} = | \vec{e_i}| | \vec{e_i} | \cos{ 0 } = 1 ) \end{align} \[ \therefore \ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 \tag{1} \]


 ところで、この(1)式の導出にあたっては、次の(2)式を仮定していた。その(2)式が成立する分けを説明しようと思う。 \[ \vec{ \alpha} \cdot ( \vec{ \beta } + \vec { \gamma } ) = \vec{ \alpha } \cdot \vec{ \beta } + \vec{ \alpha } \cdot \vec{ \gamma } \tag{2} \] (2)式の左辺は、内積の定義により、\( \vec{ \alpha} \) と \( ( \vec{ \beta } + \vec { \gamma } ) \) とで為す角を \( \theta \) とすると、次のように書ける。 \[ \vec{ \alpha} \cdot ( \vec{ \beta } + \vec { \gamma } ) = | \vec{ \alpha} | \ | \vec{ \beta } + \vec { \gamma } | \ \cos{\theta} \tag{3}\]  (2)式の右辺については同様に、 \( \vec{\alpha} \) と \( \vec{\beta} \) とで為す角を \( B \)、\( \vec{\alpha} \) と \( \vec{\gamma} \) とで為す角を \( C \) とすると、 次のように書ける。 \begin{align} \vec{ \alpha } \cdot \vec{ \beta } + \vec{ \alpha } \cdot \vec{ \gamma } &= | \vec{ \alpha } | \ | \vec{ \beta } | \ \cos{B} + | \vec{ \alpha } | \ | \vec{ \gamma } | \ \cos{C } \\ &= | \vec{ \alpha } | \ ( \ | \vec{ \beta } | \ \cos{B} + | \vec{ \gamma } | \ \cos{C } \ ) \tag{4} \end{align}

ここで、(3)式右辺にある \[ | \vec{ \beta } + \vec { \gamma } | \ \cos{\theta} \tag{5} \] と 、(4)式右辺にある \[ | \vec{ \beta } | \ \cos{B} + | \vec{ \gamma } | \ \cos{C } \tag{6} \] について、(5)式 は、\( \vec{ \beta } + \vec { \gamma } \) の \( \vec{\alpha} \) 方向の成分(の大きさ)と言うべきもので、 (6)式もやはり、\( \vec{ \beta } \) の \( \vec{\alpha} \) 方向の成分(の大きさ)と \( \vec{ \gamma } \) の \( \vec{\alpha} \) 方向の成分(の大きさ) との和であり、両者は等しい。

(この事については、その作図を思い浮かべて頂けると、或いは、実際に作図頂けると分かり易いかもしれない)

よって、 \[ | \vec{ \beta } + \vec { \gamma } | \ \cos{\theta} = | \vec{ \beta } | \ \cos{B} + | \vec{ \gamma } | \ \cos{C } \tag{7} \] (3)式、(4)式、(7)式より、 \[ \vec{ \alpha} \cdot ( \vec{ \beta } + \vec { \gamma } ) = \vec{ \alpha } \cdot \vec{ \beta } + \vec{ \alpha } \cdot \vec{ \gamma } \tag{2} \]


今月の問題

 以下の出題が、ベクトルの内積と云うものに親しむためにお役に立つかどうかは怪しいかもしれないが、出題してみようと思う( 頭の体操か?それとも目の検査か?冗談です )。

 問題 \( \vec{a} = ( a_1,\ a_2 ) ,\ \vec{ e_1 } = ( 1,\ 0 ) ,\vec{ e_2 } = ( 0,\ 1) \) のとき、以下の(1)~(6)について、

\begin{align} &(1)\ \vec{ e_1 } \cdot \vec{ e_1 }\\ &(2)\ \vec{ e_2 } \cdot \vec{ e_2 }\\ &(3)\ \vec{ e_1 } \cdot \vec{ e_2 }\\ &(4)\ \vec{ a } \cdot \vec{ e_1 }\\ &(5)\ \vec{ a } \cdot \vec{ e_2 }\\ &(6)\ \vec{ a } \cdot \vec{ a } \end{align} 次に示すベクトルの内積の定義や公式の双方を用いて比較検討せよ。 \begin{align} &\vec{ \alpha } \cdot \vec{ \beta } = | \vec{ \alpha } | | \vec{ \beta }| \cos{\theta}\ ( 但し、\theta\ は\ \vec{ \alpha} \ と \ \vec{ \beta }\ のなす角で\ 0 \leqq \theta \leqq \pi )\\ &\vec{ \alpha }=( \alpha_1,\ \alpha_2),\ \vec{ \beta }=( \beta_1,\ \beta_2)\ のとき、\ \vec{ \alpha } \cdot \vec{ \beta } = \alpha_1 \beta_1 + \alpha_2 \beta_2 \end{align}
(解答解説は次回に掲載予定です)


 この様な御時世ですが、皆さん、どうぞ心穏やかな良いお年を。私も良い年を迎えたく思います。

 次回も宜しくお願い致します。


問題その2

 休憩しましょう。


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