今回は、数学的帰納法の例題について（とても余計な？）解説を致しております。
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大事なお知らせです
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( お暇なときに、ケチでもお付けになりながら気分転換程度にお読み頂くのが宜しいかと・・・)
数学的帰納法の練習、その３
すべての自然数 \( n \) において、以下の式が７の倍数となることを証明せよ。 \[ 2^{ n+1 } + 3^{ 2n-1 } \]
という出題があったとする。
当たり前だが「すべての自然数について、、、証明せよ」とあっても「 全ての自然数を上の式に代入することによって証明する」のは不可能と思う。
数学的帰納法を使えば「全ての自然数を代入」せずとも、証明することは 可能かもしれない。
というか「すべての自然数について成立することを証明する手立てが 数学的帰納法であるから、それをやってみよう」と思ってもらえると、私は嬉しい。
また前置きが長くなってしまった。以下に、その数学的帰納法を使って、
「 \( n \) を自然数とすると、\( 2^{ n+1 } + 3^{ 2n-1 } \) が７の倍数となる」
ことの証明をしてみようと思う。
証明（解説付き）
\( (A) \ \ n=1 \) のとき、
\[ 2^{ 1+1 } + 3^{ 2\times1-1 } = 7 \]
で、成立。
\( n=k \) のとき、\( M \) を自然数とし、 \[ 2^{ k+1 } + 3^{ 2k-1 } = 7M \tag{1} \] の成立を仮定すると、
\( (B) \ \ n=k+1 \) のとき、
\begin{align*}
&\ 2^{ ( k + 1 ) + 1 } + 3^{ 2( k + 1 ) - 1 } \\
=&\ 2^{ k + 2 } + 3^{ 2k + 1 } \tag{2}
\end{align*}
ここで、\( (2) \) 式も 7 の倍数である事を示したいので、\( (1) \) 式が 7 の倍数であるという仮定を
\( (2) \) 式で生かせないかと考える。
すると、\( (2) \) 式の一部に \( (1) \) 式を見出し、浮かび上がらせるような恰好を作れそうだと
思い付き、次の様に式の整理を進めてみることになるだろう。\( N \) を自然数として、
\begin{align*}
\left( 2 \right) 式 &= \ 2 \cdot 2^{ k + 1 } + 3^2 \cdot 3^{ 2k -1 } \\
&= \ 2 \cdot 2^{ k + 1 } + 9 \cdot 3^{ 2k -1 } \\
&= \ 2 \cdot 2^{ k + 1 } + 2 \cdot 3^{ 2k -1 } + 7 \cdot 3^{ 2k -1 }\\
&= \ 2 \ ( \ 2^{ k + 1 } + 3^{ 2k -1 } \ ) + 7 \cdot 3^{ 2k -1 } \\
&= \ 2 \cdot 7M + 7 \cdot 3^{ 2k -1 } \\
&= \ 7 \ ( \ 2M + 3^{ 2k -1 } \ ) \\
&= \ 7N
\end{align*}
よって、\( n = k + 1 \) のときも成立する。
ゆえに \( (A) \) と \( (B) \) より、すべての自然数 \( n \) で \( 2^{ n+1 } + 3^{ 2n-1 } \) は \( 7 \) の倍数である。
（ 証明終わり ）
問題その2
休憩しましょう。
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