漸化式 ？ そんなの有ったか ？と思われている方へ、私が贈る迷講義 ？？
拙ブログを訪れて頂きまして、有難うございます。月に1~2回程の更新を心掛けます。
御閲覧頂くに当たりましては、このリンク先ページの御一読をお願い致します
前回の解答解説
以下、\(n\) は自然数 ( 1以上の整数 ) とする。
\[a_{n+1}=3a_n+5,\ a_1=10\ \tag{1}\]
この漸化式、\(a_n\) の係数の"3"が無ければ公差"5"の等差数列で、右辺の定数項"5"が無ければ公比"3"の等比数列なのだが、この漸化式は、それら双方を持ち合わせている。
つまり、\(a_n\) それ自信は等差数列でも、等比数列でも無さそうだ。どうするか？
そこで当該漸化式で、定数 \(\alpha\) を導入し、以下の形に変形できないだろうか？と云う事を考えてみる。
\[a_{n+1}-\alpha=3(a_n-\alpha)\ \tag{2}\]
つまり、(1) 式の\(a_n\)の係数"3"をそのまま公比とし、展開したときに定数項の値が (1) 式と一致する様に\(α\)を決定する事で、初項 " \(a_1-\alpha\) " 、公比"3"の等比数列 " \(a_n-\alpha\) " に変形する事が出来る。
それは等比数列であるから、一般項 " \(a_n-\alpha\) " が決定できそうだ。その等比数列の一般項 " \(a_n-\alpha\) " に \(\alpha\) の値を加えれば、それが\(a_n\)となる ( 最終的にこれを求めたいのである )。さて、(2)式を展開すると、
\[a_{n+1} = 3a_n - 3\alpha + \alpha\ \tag{3}\]
(1) 式と (3) 式を比較すると、\( - 3\alpha + \alpha= 5 \) 故に、
\[\alpha=-\frac{5}{2}\]
となる。よって、(2) 式は、
\[a_{n+1} + \frac{5}{2} = 3 ( a_n + \frac{5}{2})\ \tag{4}\]
(4) 式は、" \(\displaystyle{ a_n + \frac{5}{2} }\) " が、公比 3、初項 " \(\displaystyle{ a_1 + \frac{5}{2} = \frac{25}{2} }\) " の等比数列であると言っている ( \(a_1=10\) であった )。ゆえに、
\[a_n + \frac{5}{2} = \frac{25}{2} \cdot 3^{n-1} \ \tag{5}\]
\[\therefore \ a_n = \frac{5}{2}( 5 \cdot 3^{n-1} - 1 ) \ \tag{6}\]
上に示した \(a_{n+1}=pa_n+q \ ,\ p \neq 1, \ q \neq 0 \) と云うこの形の漸化式に対しても、高校の教科書や参考書が定石と考えて良い記載をしていると思うが、ここでは、それとは少しばかり違った説明で、その一般項を求めてみた。本質的には同じ仕方だと思う。
他にも色々な漸化式の型があるのだが、 それらは次の機会とし、数学的帰納法の入門の入門といこうと思う。私なりの簡単な例で、数学的帰納法とは、例えばこんな感じのものだと思っていただけると嬉しい。
問題
等差数列の和の公式を数学的帰納法を用いて証明せよ。
( 教科書の例題に有ったらごめんなさい。解答解説は次回に掲載予定です )
前回に続く話である。記憶する対象の何らかの理解が出来ていれば、それも、その記憶の役に立つと思う。更に、記憶の対象の理解の内容は、それを思い出す助けになると思う。
ところで「 記憶 」というと、丸暗記をイメージする方も居るかもしれない。しかし、自身の意識では丸暗記でも、実は記憶する対象の規則性や類似性、既に記憶済みの事柄や、全く別の事を活かす事を無意識に検討し、記憶に役立てているかもしれない ( と私は思う )。
記憶するときに、その対象の思い出し方すら無意識に様々に検討して記憶をしているかもしれない。
でも、人によって脳は様々で、記憶の仕方で私の想像を越えているものも有ると思う。
こう言ったことは、心理学等の専門家が良く御存知かもしれない。
( つまり私は人間の脳について、良く分からないのですが、興味があるので時々こんなことを考えたりもします )
次回も宜しくお願い致します。
問題その2
休憩しましょう。
以下、広告です。贈り物にどうぞ
【名入れ無料】 パイロット PILOT カスタム742 万年筆 ブラック FKK-2000R-B
贈り物に万年筆は定番かと。進級、進学、就職、お誕生日、等々の記念にどうぞ。
私が甥に高校の進学祝いで贈ったときに「使い道が分からん」と言われてショックを受けたことがありましたが「 英文の書き取りにでも使ってみてはどうか？ 」と切り返すことができ、その場を切り抜けたと言う、何ともほろ苦い記憶があります。
「 ゲーム機等の方が良かった 」と思われていたらショックが大きいのですが、古き良き贈り物として持ち続けていてくれたら、伯父としては嬉しいのです。
もっとも、私が贈ったのはもっと ( 遥かに ) リーズナブルなものですが、普段は買わない、少しだけ高級なものをお贈りすると、一層、喜ばれるかもしれません。
甥に万年筆を贈った後、それ迄ボールペン派だった私も万年筆が欲しくなり、入手し、今ではすっかり万年筆派になっています。甥への合格祝いが私の万年筆を使い始めるきっかけとなり、数学の勉強にも万年筆を使っています ( 実は、これよりずっとリーズナブルな物ですが )。
上に挙げたものは、多くの方の評価良き一本で、私も購入検討中です。
図書カードNEXT/10,000円券
贈り物に図書カードも定番かと。進級、進学、就職、お誕生日、等々の記念にどうぞ。
御存知、Amazon ギフト券 です。こちらも宜しくお願い致します。
広告は以上です。宜しくお願い致します
↑ 読者になって下さると励みになります。宜しくお願い致します。
↓ こんなブログも書いております
「 更新は月曜の夕方 」は、こちらへ引き継いでおります。宜しくお願い致します。
「高校数学１ミリメートル」
© くぼいる 2021～
All Rights Reserved
