あの \("\sum_{}^{}"\) とは何だったのか？ と思われている方へ、私が贈る迷講義 ？？ その２
拙ブログを訪れて頂きまして、有難うございます。月に1~2回程の更新を心掛けます。
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前回の解答解説
以下、\(i,\ j,\ k,\ n\) は自然数とする。
2-1
\(\sum\) が及ぶのは、そのすぐ右側の項のみである。以下では、\(k\) のみである。よって、
\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{3}k+1=(1+2+3)+1}=7\]
2-2
問題 ( 2 ) で、\(\sum\) は括弧内全体に及ぶ。よって、
\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{3}(k+1)=(1+1)+(2+1)+(3+1)=9}\]
または、次のように捉えても良い。
\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{3}(k+1)=\sum_{k=1}^{3}k+\sum_{k=1}^{3}1=(1+2+3)+(1+1+1)=9}\]
2-3
数式に用いるアルファベットは、その用い方の慣例の様なものがあって、有名なものでは、未知数や変数として \(x,\ y,\ z,\) 定数として \(a,\ b,\ c,\ \) 等。また、ここで扱ってきたカウンタ ( 添字とも言うと思う ) としては \(k\) ばかりで無く、\(i,\ j,\ \)等も用いる事が多い。
問題 ( 3 ) の場合、式のなかに \(j,\ k,\ \) が含まれているが、カウンターとしてはたらくのは、ここでは "\(j\)" のみで、"\(k\)" は定数となる。よって、
\[\displaystyle{\sum_{ j=1}^{3}(jk+1)=(k+1)+(2k+1)+(3k+1)=6k+3}\]
2-4
ここ迄と同様に考えると、
\[\displaystyle{\sum_{ j=1}^{3}aj^{2}=1^2a+2^2a+3^2a=a+4a+9a=14a}\]
2-5
\[\displaystyle{\sum_{ i=1}^{n}i}\]
この式をどう捉えるか。これは、初項 1、末項 n、公差 1、の等差数列の和である。よって、
\[\displaystyle{\sum_{ i=1}^{n}i=\frac{1}{2}n(n+1)}\]
さらっと書いてしまったが、初項 1、末項 n ( 項数も n )、公差 1、の等差数列の和は、何故、こうなるのだろうか？
というわけで、
問題
以下の結果を教科書や公式集等を見ずに求めよ。
( 但し、k, n, は自然数とする )
( 1 )
\[\sum_{k=1}^{n}[a+(k-1)d]\]
( 2 )
\[\sum_{k=1}^{n}{ar^{k-1}}\]
( 解答解説は次回に掲載予定です )
相変わらず公式の導出で恐縮です。独創的な出題や解説など、なかなか出来んもんだと思いながらも書いております。気楽に御覧下さい。( 偶然良いことを書くかもしれません )
次回も宜しくお願い致します。
問題その2
休憩しましょう。
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