あの \("\sum_{}^{}"\) とは何だったのか？ と思われている方へ、私が贈る迷講義 ？？
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前回の解答解説
1-1
「 \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{3}k}\ \ ,但し、k\ は自然数\) 」で、この \("\sum_{}^{}"\) の下にある \(”k”\) というのは、数を進める「カウンター」の様なものである。なので、カウンターと呼ぶ事にもする。この表記では、\("k"\) の値は、1 から 3 迄、1, 2, 3, となる。
( プログラミングのソースコード風に書くと、\(k=1\ to\ 3\ \) となる )
そのカウンター \("k"\) が、1, 2, 3, 其々の場合のときの、 \("\sum_{}^{}"\) の次 ( 右側 ) の式の値を、順次加えたものが求める結果となる。\("\sum_{}^{}"\) の次 ( 右側 ) の式とカウンターの両者で、同じ文字については順次同じ値をとる。
すると、
カウンター \("k"=1\) のとき、\("\sum_{}^{}"\) の右側の式 \("k"\) の値は勿論 "1" で、
カウンター \("k"=2\) のとき、\("\sum_{}^{}"\) の右側の式 \("k"\) の値は勿論 "2" で、
カウンター \("k"=3\) のとき、\("\sum_{}^{}"\) の右側の式 \("k"\) の値は勿論 "3" となる。
この\("\sum_{}^{}"\)の右側の式 \("k"\) の値を順次加えると、\(1+2+3=6\) であり、結局、
\[\sum_{k=1}^{3}\ k\ =\ 1+2+3\ =\ 6\]
となる。
既にご存じの方々にとっては、えらく冗長な説明となったが、これが入門となると思う。
1-2
２問目であるが、\("\sum_{}^{}"\) の右側の式は "1" で、これは ( 当たり前だが ) 定数である。ここでは、カウンターである自然数 \("k"\) の値によらずに定まった値 "1" をとり続ける。これは関数式 \(f(x)\) で、\("x"\) のみを変化させて考えるのと似ている。
すると、この計算は、
カウンター \("k"=1\) のとき、\("\sum_{}^{}"\) の右側の式の値は "1" で、
カウンター \("k"=2\) のとき、\("\sum_{}^{}"\) の右側の式の値は "1" で、
カウンター \("k"=3\) のとき、\("\sum_{}^{}"\) の右側の式の値は "1" となる。
更に、
カウンター \("k"=4\) のときも、\("\sum_{}^{}"\) の右側の式の値は "1" をとり、
やがて、
カウンター \("k"=n-1\) のときも、\("\sum_{}^{}"\) の右側の式の値は "1" となり、
終に、
カウンター \("k"=n\) でも、\("\sum_{}^{}"\) の右側の式の値は "1" である。
結局 \("k"\) ( カウンター ) は自然数で "1" から \("n"\) 迄増加するにつれ、\("\sum_{}^{}"\) の右側の式の値 ”1" は合計で \("n"\) 個となる。故に、
\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\ 1\ =\ 1 \times n = n}\]
となる。
さて、
数学の心得が有る方々には退屈かもしれないが、練習問題をどうぞ ( 脳トレにも宜しいかと )。
問題
次の値を求めよ。但し、\(i,\ j,\ k,\ n\) は自然数とする。
( 1 ) \[\displaystyle{\sum_{k=1}^{3}k+1}\]
( 2 ) \[\displaystyle{\sum_{k=1}^{3}(k+1)}\]
( 3 ) \[\displaystyle{\sum_{ j=1}^{3}(jk+1)}\]
( 4 ) \[\displaystyle{\sum_{ j=1}^{3}aj^{2}}\]
( 5 ) \[\displaystyle{\sum_{ i=1}^{n}i}\]
( 解答解説は次回に掲載予定です )
「 文字数稼ぎの冗長な解説か！」 と言われたときには「 物を書いていると色々と言われるものなのですよ 」と言い訳をすることと致したく存じます ( 冗談です )。ご批判はどしどし承りたく思います。
( 嗚呼、上手く書けない ！)
次回も宜しくお願い致します。
問題その2
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