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計算結果が"1"となる定積分の式の例 (その1 )
一言で言うと、定積分とは面積なので、面積が1となる様に、選択した被積分関数に対して積分範囲や係数を調節していく事になる。
解答例 1_1
被積分関数が定数の場合、
\[\int_{0}^{1}dx\ \ ( =\ \Bigl[ x \Bigr]_{0}^{1}\ =\ 1-0=1\ )\ \tag{1_1_1} \]
これは、正方形の面積である。積分範囲と係数を調節すると、次の式も可能だ。
\[\int_{0}^{2}\frac{1}{2}dx\ \ ( =\ \frac{1}{2}\Bigl[ x \Bigr]_{0}^{2}\ =\ \frac{1}{2}(2-0)\ =\ 1\ )\ \tag{1_1_2} \]
これは、縦が \(\cfrac{1}{2}\) で横が 2 の長方形の面積となる。正方形の面積で、係数を \(\cfrac{1}{2}\)、 被積分関数を \(\sqrt{2}\)、積分範囲を0から \(\sqrt{2}\) 等としても良い ( これをやっていると切りが無いので、あとは各位検討されたし )。
解答例 1_2
被積分関数が1次式の場合
\[\int_{0}^{1}2x\ dx\ \ ( =\ \Bigl[ x^2 \Bigr]_{0}^{1}\ =\ 1 \ ) \tag{1_2_1}\]
被積分関数が \(\ y=ax \ \) であれば、平たく言うと、その定積分は直角三角形の面積であるとも言える。あの、小学校で習った ( 直角 ) 三角形の面積である。なので、わざわざ定積分の計算をするまでも無いのだが、簡単な例は定積分に親しむのに良いかと思う。
\[\int_{0}^{x}at\ dt\ \ ( =\ a \Bigl[ \frac{1}{2}t^{2} \Bigr]_{0}^{x}\ =\ \frac{a}{2}x^{2} \ ) \tag{1_2_2}\]
これも ( \(a,\ x \gt 0 \) であるとき ) ( 直角 ) 三角形の面積を意味している。底辺が \(x\) 、高さが \(ax\) と見ることが出来る。面積 ( 計算結果 ) は、積分範囲上端 \(x\)の2乗に比例し、比例定数は \(\cfrac{a}{2}\) である。これは、\(x\) の2乗に比例するということで、原点を通る放物線の一部にもなっている。面積の増加の仕方がこの放物線に見てとれる。
解答例 1_3
被積分関数が2次式の場合
\[\int_{0}^{1}3x^2\ dx\ \ ( =\ \Bigl[ x^3 \Bigr]_{0}^{1}\ =\ 1 \ )\tag{1_3_1}\]
\[\frac{3}{2}\int_{-1}^{1}x^{2}dx\ \ ( \ =\ \frac{3}{2} \Bigl[ \frac{1}{3}x^{3} \Bigr]_{-1}^{1}\ =\ 1 \ ) \tag{1_3_2}\]
( 以上、被積分関数が単項式の場合の簡単な例。次回へ続く )
今回の問題
問題
と言う分けで、被積分関数を変えながら計算結果が"1"となる定積分の式の例を検討せよ。
( 答えは次回に解答例として掲載予定です )
( どうも面白く書けない、、、次回も宜しくお願い致します )
問題その2
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