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若干のお知らせです
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前回の解答解説
これ迄の事を踏まえて、次の 2 式について検討してみる。
\begin{align} & \sin{x} + \cos{x} &\tag{1} \\ \\ & \sin{x} + \cos{y} &\tag{2} \end{align}
両式共に他の表現を考えてみる。
( 1 ) 式については、
このブログの Vol.8 と Vol.9 を参照されたし （ カテゴリーは「三角関数」）。
( 2 ) 式については、
三角関数の加法定理の「和 → 積」の公式は、異種の三角関数同士の和（差）について、高校数学の教科書は （多分）公式としては掲載していないように思う。
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--- 参考 ---
「積 → 和」の公式なら、正弦関数と余弦関数の積を三角関数の和にする公式がある。何故、「積 → 和」 の公式の「積」に 異種の三角関数同士の積があり、「和 → 積」の公式の「和」には同種の三角関数同士しか、公式として扱っていないのか？ それら公式の導出過程を見られたし。
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そこで取り敢えず、（２）の様な正弦関数と余弦関数の和を、「和 → 積」の公式の導出方法を参考にして 計算を進めてみることにする。
加法定理の公式が使えるように、\(\sin{x}\) と \(\cos{y}\) で、\(x=\alpha+\beta,\ y=\alpha-\beta\) とおき、 以下の様にすると、
\begin{align} \sin{ ( \alpha + \beta ) } =&\ \sin{ \alpha } \cos{ \beta } + \sin{ \beta } \cos{ \alpha } \\ + )\ \ \cos{ ( \alpha - \beta ) } =&\ \cos{ \alpha } \cos{ \beta } + \sin{ \alpha } \sin{ \beta } \\ \hline \sin{ ( \alpha + \beta ) } + \cos{ ( \alpha - \beta ) } =&\ \ \ \ \ \sin{ \alpha } \cos{ \beta } + \sin{ \beta } \cos{ \alpha } \\ &\ + \cos{ \alpha } \cos{ \beta } + \sin{ \alpha } \sin{ \beta } \\ =&\ ( \sin{ \alpha } + \cos{ \alpha })\ ( \sin{ \beta } + \cos{ \beta } ) \tag{3} \end{align}
（３）式の、結果を因数分解するところ迄一気に書いた。すると、その括弧のなかが更に整理できそうで、 それには（１）式が参考になりそうだ。
つまり、このブログの Vol.8 と Vol.9 を是非是非参照されたし （カテゴリーは「三角関数」）。
（ 手抜きの様な記載で恐縮です。最近冬支度で忙しいもので、ついつい・・・ ）
それを行うと（３）式の右辺は、以下の様になる。
\begin{align} ( \sin{ \alpha } + \cos{ \alpha })\ ( \sin{ \beta } + \cos{ \beta } ) = &\ \sqrt{2} \sin{ ( \alpha + \frac{\pi}{4} ) } \ \sqrt{2} \sin{ ( \beta + \frac{\pi}{4} ) } \\ =&\ 2\ \sin{ ( \alpha + \frac{\pi}{4} ) } \ \sin{ ( \beta + \frac{\pi}{4} ) } \tag{4} \\ \end{align}
等式（３）を振り返れば、 \[ \sin{ ( \alpha + \beta ) } + \cos{ ( \alpha - \beta ) } =\ 2\ \sin{ ( \alpha + \frac{\pi}{4} ) } \ \sin{ ( \beta + \frac{\pi}{4} ) } \tag{5} \]
これで、「和 → 積」の公式に、正弦関数と余弦関数の和についての公式があるとすると、それは正弦関数同士の積で表現できることが分かった。（５）式がそれを示している。
（５）式の文字を（２）式に合わせてみよう。（２）式について、冒頭で \(x=\alpha+\beta,\ y=\alpha-\beta\) としていたので、これら 2 式を連立して、\( \alpha,\ \beta\) を \(x,\ y\) で表現すると、
\[ \displaystyle{ \alpha = \frac{x+y}{2},\ \beta = \frac{x-y}{2} } \]
であるので、これらを（５）式に代入すると以下の様になる。これを（２）式についての「私の」検討結果としようと思う。
\[ \sin{ x } + \cos{ y } =\ 2\ \sin{ ( \frac{x+y}{2} + \frac{\pi}{4} ) } \ \sin{ ( \frac{x-y}{2} + \frac{\pi}{4} ) } \tag{6} \]
三角関数の加法定理の話題はこの辺りにして、来月は次の話題にしようと思う。
今月の問題
以下の公式を何気なく使っている人は結構多いかもしれない。しかし、なぜこのような計算になるのだろうか？この「ベクトルの内積の公式」を導出せよ。
\[ \displaystyle{ \vec{a}=(a_1,\ a_2),\ \vec{b}=(b_1,\ b_2)\ のとき、\ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 }\]
（解答解説は次回に掲載予定です）
冬支度等などに思案の毎日であります（ あまり進んでいませんが ）。寒くなってきました。閲覧下さる皆様には、どうか風邪など召さぬように。
私も気を付けます。
次回も宜しくお願い致します。
（ 南半球の皆様には夏が来ますね ）
問題その2
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