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正弦関数と余弦関数の合成の公式について
正弦関数と余弦関数の和を正弦関数で表現してみようと思う。これが「合成」という意味である。
解答例
\[a\sin{\theta} + b\cos{\theta} =\ ?\tag{1}\]
ということを考えたとき、次の式が思い浮かぶと、(1)式は正弦関数で表現できる。三角関数の加法定理というやつである。
\[\sin{\theta}\cos{\alpha} + \cos{\theta}\sin{\alpha} = \sin{(\theta + \alpha)} \tag{2}\]
そこで、(1)式に対して(2)式を適用するために、\( (a,\ b) \) を直交座標上の一点と捉え、極座標表現での2つの数、"\(r\)" \((\gt 0)\) と "\(\alpha\)" を導入し、
\[ (a,b)=(r\cos{\alpha},\ r\sin{\alpha}) \tag{3}\]
と表す。すると、(1)式は、(3)式を当てはめ、更に(2)式を適用し、次の様に書くことが出来る。
\[r\cos{\alpha}\sin{\theta} + r\sin{\alpha}\cos{\theta} = r\sin{(\theta + \alpha)} \]
ここで、”\(r\) " と "\(\alpha\)" について、それぞれどのような値になるかを検討してみる。
(3)式より、\(\cos{\alpha}=\cfrac{a}{r}\ \), \(\ \sin{\alpha}=\cfrac{b}{r}\) であり、\(\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha} = 1\) であるから、
\[\frac{a^2}{r^2} + \frac{b^2}{r^2} = 1\]
”\(r\)” は(1)式中の2数\((a,\ b)\) で分かりそうだ。上式の整理を進めてみると、
\[\frac{a^2+b^2}{r^2} = 1\]
更に、
\[r=\sqrt{a^2+b^2} \hspace{20pt} \because\ r \gt 0\]
\(\alpha\) については、\(\cos{\alpha}=\cfrac{a}{r}\) かつ \(\sin{\alpha}=\cfrac{b}{r}\) を満たすものとなる。それは、そのように導入したからである。これについては \(\alpha \ne \displaystyle \frac{\pi}{2} \pm n\pi \) ( 但し、\(n\) は整数 ) の場合に、
\[\cfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\cfrac{\cfrac{b}{r}}{\cfrac{a}{r}}=\cfrac{b}{a}\]
即ち、
\[\tan{\alpha}=\frac{b}{a}\]
と、まとめる事も出来る。よって、(1) 式は、
\[a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=r\sin{(\theta+\alpha)}\]
( \( 但し、\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2},\ \tan{\alpha}=\frac{b}{a},\ \alpha \ne \frac{\pi}{2} \pm n\pi\ (\ n は整数\ ) } \) )
と、表現できる。
( \( \displaystyle{ちなみに、\alpha = \frac{\pi}{2} \pm n\pi\ となる場合は、各自、検討されたし }\) )
今回は正弦関数と余弦関数の和を正弦関数で表現する公式の導出を扱った。これは 余弦関数で表現することもできる。そこで、
問題 正弦関数と余弦関数の和を余弦関数で表現する公式を導出せよ。
( 答えは次回に解答例として掲載予定です )
( この程度のものですが、次回も宜しくお願い致します )
問題その2
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