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底が10以外の対数の値を常用対数表で見積もる
拙ブログ「更新は月曜の夕方」2021年2月 第1稿 Vol.14 で、ある(正の)数が10(と1)以外の(正の)数の何乗になるかを 常用対数表を用いてその概数を知ることが出来、高校2年終了程度の数学でその仕組みを 知ることが出来る事を述べた。それらについて説明してみようと思う。
1と10以外の正の数 \(a\) を底とする、ある正の数 \(b\) の対数値を \( x \) とし、その値を常用対数表を用いて見積もってみよう。
そこで、
\[x=\log_a{b}\]
とおくと、これは、
\[a^x = b ( \gt 0 )\]
と書ける。(正である)同じ値同士の常用対数値は、当然の如く同じ値となるので、上式は次のように書ける。
\[\log_{10}{a^x} = \log_{10}{b}\]
また、\(\log_{10}{a^x} = x \log_{10}{a}\) であるので、上式は、
\[x \log_{10}{a} = \log_{10}{b}\]
と書ける。更に、冒頭に示した \(a\) の範囲により \(\log_{10}{a} \neq 0\) であるので、
\[x = \cfrac{\log_{10}{b}}{\log_{10}{a}}\]
となる。最初に \(x = \log_a{b}\) としていたので、結局、
\[\log_{a}{b} = \cfrac{\log_{10}{b}}{\log_{10}{a}}\]
となる。これで、10と1以外の正の数を底とする対数値の概数を、常用対数表により求める準備が出来た。まあ、こんな事は高校数学の教科書の記載にあるのだが、、、
ここで問題
問題
7、9、1024。これらはそれぞれ2の何乗と見積もられるだろうか？ 常用対数表を用いて概数で求めよ。
(答えは次回に掲載予定です)
(前回と同様に、芸の無い出題で申し訳ない、、、)
前回の答
\[ \sqrt{7} + \sqrt{10} \]
問題その2
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