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( お暇なときに、ケチでもお付けになりながら気分転換程度にお読み頂くのが宜しいかと・・・)
前回の解答解説
次の式を因数分解せよと云う問題が出題されたときの事を考えてみる。
\[a^3 + b^3\tag{1}\]
この因数分解もまた、多くの高校数学の教科書や参考書、公式集等が掲載している。その導出過程を検討してみる。先ずは、この因数分解が\((a+b)\)を因数に持つと仮定し、因数になり切れない部分の帳尻を合わせ、次のように式変形をしてみることにする。
\[a^3+b^3 = (a+b)(a^2+b^2)-ab^2-ba^2 \tag{2}\]
「予め因数分解の結果が \((a+b)\) を因数に持つと分かっているからこの変形が出来るんじゃないか？」と仰る方々もおられるかとは思うが、 結果を知らなくても、\((a+b)\) を因数に持つことを仮定するのは、別に不自然な事とは言えないと、私は思う。
ところで、( 2 ) 式の右辺 2 項目と 3 項目を共通因数 \(-ab\) で括ると \((a+b)\) が現れるではないか！式全体を \((a+b)\) で括ることができる。よって、
\begin{align} & \ (a+b)(a^2+b^2)-ab^2-ba^2 \\ =& \ (a+b)(a^2+b^2)-ab(a+b)\\ =& \ (a+b)(a^2-ab+b^2) \end{align}
結局、
\[\therefore \ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\]
因数分解を導出することができた。「 右辺を展開すると左辺になるから、左辺の因数分解は右辺である。」のは分かるが、しかしこの、展開すると左辺になるその「右辺」を最初に考え付くだろうか？やはり最初は左辺から右辺へ因数分解することでこの公式が出来たのではないか？
凡人かつ小市民の私は、今日も眠れない。
( 嫌われがちかもしれない因数分解というものに、親しむ機会の一つとなりましたら幸いです。)
問題
もしもシリーズ？
此処まで来たら、これも出題したくなったのです
以下の式の ( 有理数係数の範囲での ) 因数分解の導出過程を記述せよ
\[a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]
これだけでは何ですから、参考迄に、次の問題もどうぞ。
以下の式を複素数の範囲で因数分解せよ
\[a^2+b^2\]
解答解説は次回に掲載予定です。
上記の因数分解は、２つとも教科書等が掲載していると思います「 手抜きをするな！」とは仰らずに。因数分解の練習と思ってやってみて下さい。こんな出題の仕方で恐縮であります。
次回も宜しくお願い致します。
問題その2
休憩しましょう。
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